teoretycznie powinno być tak, że jak w aplikacji pogodowej (tej która odpala się po tapnięciu w widżet) masz ustawioną synchronizację co jakiś czas, to tak samo powinien odświeżać się widżet, przecież pobiera on pogodę z tej aplikacji
sprawdź zatem czy masz w tej aplikacji ustawione odświeżanie, jeśli nie masz, to włącz, jeśli masz to proponuję usunąć widżet z pulpitu, potem wyczyścić dane tej aplikacji, uruchomić ją ponownie, skonfigurować i dodać widżet na nowo