Jak wejdziesz w Gmaila Menu(na dolnej belce)--->Odśwież, AUTOsynchronizacja nie jest do tego potrzebna.
Z pogodą u mnie tak samo, ale mimo to dostęp do lokalizacji mam wyłączony. Jeżeli się nie przemieszczasz zbyt wiele, albo przemieszczasz się głównie pomiędzy tymi samymi miastami, ręcznie je pododawaj do widgetu, i po sprawie - ja tak zrobiłem, i również dostęp do lokalizacji niepotrzebny a:) (jak na widgecie będziesz chciał zmienic aktualnie wyświetlane misto to po prostu przejedź palcem po powierzchni widgetu w góre lub w dół - o ile mówimy o stockowym widgecie AccuWeather). Od bólu jak Ci nie będzie pasowało powrócisz do starych ustawień, ale proponuję zrobic tak dla testu oraz ustalenia cy to włąśnie te funkcje powodują drenaż baterii.
EDIT:
swoją drogą śmiszne to to, że ludzie wolą smartfon od zwykłego termometru :DDD (tak, ja też)